유클리드 정역

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 정의에 대한 참고 사항
3. 성질
4. 예
- 4.1. 다항식환의 유클리드 함수
- 4.2. 유클리드 정역을 이루는 대수적 정수환
5. 노름-유클리드 체
6. 유클리드 정역의 응용
참조

1. 개요

유클리드 정역은 유클리드 함수를 갖는 정역으로, 유클리드 함수는 정역의 원소와 음이 아닌 정수를 연결하는 함수이며, 나눗셈 정리를 만족한다. 모든 체는 유클리드 정역이며, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역, 유일 인수분해 정역, 뇌터 환이다. 유클리드 정역의 예시로는 정수환, 다항식환, 가우스 정수환 등이 있다. 노름-유클리드 체는 체 노름의 절대값으로 정의되는 정규 노름 함수를 가지는 대수적 수체이며, 이차 체는 완전히 분류되어 있다.

더 읽어볼만한 페이지

에우클레이데스 - 유클리드 호제법
유클리드 호제법은 두 정수의 최대공약수를 효율적으로 계산하는 알고리즘으로, 다양한 수학적 대상에 적용되며 베주의 항등식 등 여러 분야에 응용된다.
에우클레이데스 - 옥시링쿠스 파피루스 29번
옥시링쿠스 파피루스 29번은 《원론》 제2권의 다섯 번째 명제를 담고 있는 현존하는 가장 오래된 필사본 중 하나로, 고대 그리스 기하학 연구에 중요한 자료이다.
가환대수학 - 매개계
매개계는 뇌터 국소 가환환과 유한 생성 가군을 사용하여 정의되며, 가군의 길이와 크룰 차원을 활용하여 정칙 국소환에서 정칙 매개계의 성질을 규명하고, 추상대수기하학에서 기하학적 대상의 분류와 연구에 중요한 역할을 한다.
가환대수학 - 크룰 차원
크룰 차원은 환 내의 소수 아이디얼 체인의 길이를 이용하여 정의되며, 환론 및 대수기하학에서 중요한 역할을 하고 다양한 개념으로 확장되어 사용된다.

유클리드 정역
수학적 정보
유형	정역
정의	유클리드 나눗셈을 갖는 정역
추가 속성	주 아이디얼 정역 유일 인수 분해 정역
예시
대표적인 예시	정수환 다항식환 (체 위에서)
기타 예시	가우스 정수환 아이젠슈타인 정수환 체
성질
아이디얼	모든 아이디얼은 주 아이디얼이다.
인수 분해	모든 원소는 유일하게 기약원소의 곱으로 표현된다.
나눗셈 알고리즘	유클리드 나눗셈이 가능하다.
관련 개념
상위 개념	정역
하위 개념	체
관련 개념	유클리드 나눗셈 주 아이디얼 정역 유일 인수 분해 정역

2. 정의

정역 $R$ 위의 '''유클리드 함수'''(Euclidean function^영어) $f\colon R \setminus \{0\} \to \mathbb N$ 는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

임의의 $a\in R$ 및 $b\in R\setminus\{0\}$ 에 대하여, $a=bq+r$ 이며 $r=0$ 또는 $f(r) 인 q,r\in R 가 존재한다.$

'''유클리드 정역'''은 유클리드 함수가 적어도 하나 존재하는 정역이다.

이 맥락에서,

q

와

r

은 각각

a

를

b

로 나눈(또는 유클리드 나눗셈) 몫과 나머지라고 불린다. 정수와 다항식의 경우와는 달리, 몫은 일반적으로 유일하게 정의되지 않지만, 몫이 선택되면 나머지는 유일하게 정의된다.

2. 1. 정의에 대한 참고 사항

정역

R

위의 '''유클리드 함수'''(Euclidean function^영어)는 다음 성질을 만족시키는 함수

f\colon R \setminus \{0\} \to \mathbb N

이다.

임의의 $a\in R$ 및 $b\in R\setminus\{0\}$ 에 대하여, $a=bq+r$ 이며 $r=0$ 또는 $f(r) 인 q,r\in R 가 존재한다.$

'''유클리드 정역'''은 유클리드 함수가 적어도 하나 존재하는 정역이다. 유클리드 정역의 정의에는 특정 유클리드 함수가 포함되지 않는데, 일반적으로 유클리드 정역은 여러 다른 유클리드 함수를 가질 수 있기 때문이다.

대부분의 대수학 교재에서는 유클리드 함수가 다음의 추가적인 성질을 갖도록 요구한다.

(EF2) $R$ 의 모든 0이 아닌 $a$ 와 $b$ 에 대해, $f(a)\le f(ab)$ .

하지만 (EF1)만으로 유클리드 정역을 정의하기에 충분하다. 만약 정역

R

에 (EF1)을 만족하는 함수

g

가 주어진다면,

R

은 (EF1)과 (EF2)를 동시에 만족하는 함수를 가질 수도 있다. 실제로,

R \setminus \{0\}

에 속하는

a

에 대해,

f(a)

를 다음과 같이 정의할 수 있다.^[1]

:

f(a) = \min_{x \in R \setminus \{0\}} g(xa)

즉,

f(a)

를

a

에 의해 생성된 주 아이디얼의 모든 0이 아닌 원소 집합에서

g

가 갖는 최솟값으로 정의할 수 있다.

"유클리드 함수" 대신 "차수 함수", "평가 함수", "게이지 함수" 또는 "노름 함수"와 같은 다른 용어를 사용하기도 한다.^[2]

3. 성질

모든 체는 자명하게 유클리드 정역을 이루며, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다. 일반적으로, 다음 포함 관계가 성립한다.

:가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

''R''을 정역, ''f''를 ''R'' 상의 유클리드 함수라고 할 때, 다음이 성립한다.

''R''은 주 아이디얼 정역(PID)이다. ''I''가 ''R''의 영이 아닌 아이디얼이면, ''f''(''a'')의 값이 최소인 ''I'' \ {0}의 모든 원소 ''a''는 ''I''의 생성원이다.^[9] 결과적으로 ''R''은 유일 인수분해 정역이며 뇌터 환이다.
''f''가 전역 최소값을 갖는 ''R''의 모든 원소는 ''R''에서 가역원이다. (EF2)를 만족하는 ''f''를 선택하면, 역도 성립하며, ''f''는 가역원에서 정확히 최소값을 갖는다.
유클리드 나눗셈이 알고리즘적, 즉 몫과 나머지를 계산하기 위한 알고리즘이 있다면, 확장 유클리드 알고리즘은 정수의 경우와 정확히 동일하게 정의할 수 있다.^[10]
유클리드 정역이 체가 아니라면, 다음 속성을 가진 원소 ''a''가 있다: ''a''로 나누어 떨어지지 않는 모든 원소 ''x''는, 어떤 단위 ''u''와 어떤 원소 ''y''에 대해 ''x'' = ''ay'' + ''u''로 쓸 수 있다.

모든 PID가 유클리드 정역은 아니다. 예를 들어, ''d'' = −19, −43, −67, −163의 경우

\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)

의 정수환은 유클리드 정역이 아니지만 PID이다. 하지만, 확장된 리만 가설을 가정하면, ''K''가 '''Q'''의 유한 확장이고 ''K''의 정수환이 무한히 많은 단위원을 갖는 PID이면, 정수환은 유클리드 정역이다.^[12]

4. 예

정수환은 절댓값을 유클리드 함수로 갖는 유클리드 정역이다. 체 $K$ 위의 다항식환 $K[x]$ 는 다항식의 차수를 유클리드 함수로 갖는 유클리드 정역이다. 체 $K$ 위의 형식적 거듭제곱 급수의 환 $Kx$ 역시 유클리드 정역이며, 이 경우 유클리드 함수는 형식적 거듭제곱 급의 차수이다.

가우스 정수 환은 가우스 정수의 노름을 유클리드 함수로 갖는다. 아이젠슈타인 정수 환 (원시 (비-실수) 3차 단위근)은 아이젠슈타인 정수의 노름을 유클리드 함수로 갖는다.

이 외에도 모든 체(모든 0이 아닌 원소 x에 대해 f(x) = 1), 모든 이산 값매김 환(f(x)를 x를 포함하는 극대 아이디얼의 가장 높은 차수) 등이 유클리드 정역의 예시이다.

반면, 주 아이디얼 정역이 아닌 정역 (예: 체 위의 둘 이상의 미지수를 갖는 다항식 환, 정수 계수를 갖는 일변수 다항식 환)이나 $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ 의 정수환은 유클리드 정역이 아니다.

4. 1. 다항식환의 유클리드 함수

다항식환

K[x]

에서 차수

\deg

는 유클리드 함수를 이룬다.

f, g \in K[x]

이고

g \ne 0

일 때, 다음을 만족하는

q, r \in K[x]

가 존재함을 보이면 된다.

:

f = gq + r

(

\deg r < \deg g

)

집합

S \subset K[x]

를 다음과 같이 정의한다.

:

S = \{f - gh \colon h \in K[x]\}

S

는 공집합이 아니며,

r

을

S

의 원소 중 차수가 가장 작은 다항식이라고 하면, 다음이 성립한다.

:

f = gq + r

(

q \in K[x]

)

이제

\deg r < \deg g

이거나

\deg r \ge \deg g

이다. 귀류법을 사용하여

\deg r \ge \deg g

라고 가정하자.

:

r = ax^{\deg r} + \cdots

:

g = bx^{\deg g} + \cdots

라면,

:

\tilde r = r - (a/b)x^{\deg r - \deg g}g \in S

이지만

:

\deg \tilde r < \deg r

이므로 모순이다. 따라서

\deg r < \deg g

이다.

다항식 환

K[X]

(

K

는 체)에서 0이 아닌 다항식

P

에 대해,

f(P)

를

P

의 차수로 정의하면,

f

는 유클리드 함수가 된다.^[4]

4. 2. 유클리드 정역을 이루는 대수적 정수환

허수 이차 수체

\mathbb Q(\sqrt{-d})

의 대수적 정수환

\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})}

가 유클리드 정역을 이루는 경우는

d=1,2,3,7,11

일 때이다. 이때 체 노름

f(a+b\sqrt{-d})=a^2+b^2d

은

\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})}

의 유클리드 함수가 된다.^[1]

실수 이차 수체

\mathbb Q(\sqrt d)

의 대수적 정수환

\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}

에 대하여, 체 노름의 절댓값

f(a+b\sqrt d)=|a^2-b^2d|

이

\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}

의 유클리드 함수가 되는 경우는

d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73

일 때이다.^[2] 만약

d=14

일 경우,

\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{14})}

는 체 노름이 아닌 다른 유클리드 함수를 갖는다.

가우스 정수의 환은 유클리드 정역의 한 예시이며, 유클리드 함수는

f(a + bi) = a^2 + b^2

, 즉 가우스 정수

a + bi

의 노름으로 정의한다.

아이젠슈타인 정수의 환

('''Z'''[ω]

^de) (여기서

\omega

는 원시 (비-실수 ) 3차 단위근)도 유클리드 정역의 예시이며, 유클리드 함수는

f(a + b\omega) = a^2 - ab + b^2

, 즉 아이젠슈타인 정수

a + b\omega

의 노름으로 정의한다.

\mathbf{Q}(\sqrt{-19}\,)

의 정수환은 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예시이다.^[6]

5. 노름-유클리드 체

대수적 수체 ''K''에는 체 노름 ''N''의 절대값으로 정의되는 표준 노름 함수가 존재한다. 이 함수는 대수적 원소 ''α''를 ''α''의 모든 켤레의 곱으로 변환한다. 이 노름은 수체 ''K''의 정수환 ''O''_''K''를 음이 아닌 유리 정수로 매핑하므로, 이 환에 대한 유클리드 노름이 될 수 있다. 이 노름이 유클리드 함수의 공리를 만족하면 수체 ''K''는 노름-유클리드 또는 간단히 유클리드라고 한다.^[14]^[15] 엄밀히 말하면 체는 자명하게 유클리드 정역이므로 정수환이 유클리드적이지만, 이 용어는 표준적으로 사용된다.

체가 노름-유클리드가 아니라고 해서 정수환이 유클리드적이 아니라는 의미는 아니며, 체 노름이 유클리드 함수의 공리를 만족하지 않는다는 의미일 뿐이다. 실제로 수체의 정수환은 여러 클래스로 나눌 수 있다.

주 아이디얼 정역이 아니므로 유클리드적이지 않은 것, 예를 들어 $\mathbf{Q}(\sqrt{-5}\,)$ 의 정수환
주 아이디얼 정역이지만 유클리드적이지 않은 것, 예를 들어 $\mathbf{Q}(\sqrt{-19}\,)$ 의 정수환
유클리드적이지만 노름-유클리드적이지 않은 것, 예를 들어 $\mathbf{Q}(\sqrt{69}\,)$ 의 정수환^[16]
노름-유클리드적인 것, 예를 들어 가우스 정수 ( $\mathbf{Q}(\sqrt{-1}\,)$ 의 정수환)

노름-유클리드 이차 체는 완전히 분류되었으며, 이는

d

가 다음 값을 갖는

\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)

이다.

: −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73

모든 유클리드 허수 이차 체는 노름-유클리드적이며, 앞 목록의 처음 다섯 개의 체 중 하나이다.

6. 유클리드 정역의 응용

''R''은 주 아이디얼 정역(PID)이다. ''I''가 ''R''의 영이 아닌 아이디얼이면, ''f''(''a'')의 값이 최소인 ''I'' \ {0}의 모든 원소 ''a''는 ''I''의 생성원이다.^[9] 따라서 ''R''은 유일 인수분해 정역이며 뇌터 환이다. 인수분해의 존재는 유클리드 정역에서 쉽게 증명할 수 있다. (EF2)를 만족하는 유클리드 함수 ''f''를 선택하면, ''x''는 ''f''(''x'') 이상의 비단위 인수로 분해될 수 없으므로, ''x''에서 시작하여 약분 가능한 인수를 반복적으로 분해하면 기약원으로의 인수분해가 생성된다.
''f''가 전역 최소값을 갖는 ''R''의 모든 원소는 ''R''에서 가역원이다. (EF2)를 만족하는 ''f''를 선택하면, 역도 성립하며, ''f''는 가역원에서 정확히 최소값을 갖는다.
유클리드 나눗셈이 알고리즘적이면, 확장 유클리드 알고리즘을 정의할 수 있다.^[10]
유클리드 정역이 체가 아니라면, 다음 속성을 가진 원소 ''a''가 존재한다: ''a''로 나누어 떨어지지 않는 모든 원소 ''x''는, 어떤 단위 ''u''와 어떤 원소 ''y''에 대해 ''x'' = ''ay'' + ''u''로 쓸 수 있다. 이는 ''f''(''a'')가 가능한 한 작은 비단위를 ''a''로 취함으로써 따른다. 이 속성은 일부 주 아이디얼 정역이 유클리드 정역이 아님을 보이는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, ''d'' = −19, −43, −67, −163의 경우 $\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)$ 의 정수환은 유클리드 정역이 아니지만 PID이며, ''d'' = −1, −2, −3, −7, −11인 경우는 유클리드 정역이다.^[11]

확장된 리만 가설을 가정하면, ''K''가 '''Q'''의 유한 확장이고 ''K''의 정수환이 무한히 많은 단위원을 갖는 PID이면, 정수환은 유클리드 정역이다.^[12] 특히 이것은 완전 실 이차 수체의 경우에 적용된다. 또한 (ERH를 가정하지 않고), 체 ''K''가 '''Q'''의 갈루아 확장이고, 단위 순위가 3보다 크면, 정수환은 유클리드 정역이다.^[13]

참조

_[1] 간행물 The Axioms for Euclidean Domains
_[2] 서적 Abstract Algebra Wiley
_[3] harvnb
_[4] harvnb
_[5] 간행물 About Euclidean rings 1971-10-01
_[6] 간행물 The Euclidean algorithm https://projecteucli[...] 1949-12
_[7] 서적 Lectures on Unique Factorization Domains http://www.math.tifr[...] Tata Institute of Fundamental Research 1964
_[8] 웹사이트 Quotient of polynomials, PID but not Euclidean domain? https://math.stackex[...]
_[9] harvnb
_[10] harvnb
_[11] 간행물 The Euclidean algorithm http://projecteuclid[...]
_[12] 간행물 On Euclidean rings of algebraic integers AMS
_[13] 간행물 Euclidean rings of algebraic integers http://www.mast.quee[...]
_[14] 서적 Algebraic Numbers Wiley-Interscience
_[15] 서적 An Introduction to the Theory of Numbers https://books.google[...] Oxford University Press 2008
_[16] 간행물 A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean
_[17] 서적 Topics in Number Theory https://archive.org/[...] Dover
_[18] harvnb
_[19] 웹사이트 ユークリッド環についての注意 http://yamashita-lab[...] 2012-05-09
_[20] harv
_[21] harv
_[22] harv
_[23] harvnb
_[24] nlab Euclidean domain
_[25] 간행물 The Euclidean algorithm http://projecteuclid[...]
_[26] 간행물 On Euclidean rings of algebraic integers AMS
_[27] 간행물 Euclidean rings of algebraic integers http://www.mast.quee[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com